Matriks, Relasi & Fungsi

Diposting pada

Matriks, Relasi & Fungsi – Pusat Pengetahuan

A.    Matriks

Definisi: Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.
Menurut Samsul Irpan, “matriks adalah susunan suatu unsure atau elemen atau fungsi polinom dalam bentuk persegi panjang yang ditentukan dengan baris dan kolam dan dibatasi oleh tanda kurung”. Biasanya dilambangkan dengan huruf kafital. Bilangan- bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen. Suatu matriks memiliki ukuran yang dijelaskan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat pada matriks tersebut. Ukuran pada matriks disebut ordo. Ordo pada matriks atau ukuran matriks adalah suatu bilangan yang menunjukkan banyaknya baris dan di ikuti oleh banyaknya kolom.
Jika matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom maka ordo matriksnya adalah m x n ditulis Pmxn.

A= Entri disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j .Jika m = n, maka matriks tersebut dinamakan juga matriks bujursangkar (square matriks). Menuliskan matriks dalam bentuk persegi panjang di atas adalah boros tempat, oleh karena itu matriks dituliskan dengan notasi ringkas A = [ ].

1.      Beberapa Matriks Khusus

a.       Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar dengan = 0 untuk i  j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi  i  j bernilai 0. Dengan kata lain, matriks diagonal adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya.
         
b.      Matriks Identitas
Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1. Setiap matriks yang dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri sehingga dinamakan matriks identitas.

         
c.       Matriks Segitiga Atas/Bawah
Matriks segitiga atas/bawah adalah matriks jika elemen-elemen di atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu = 0 jika i < j (i > j).
Maka matriks segi tiga atas adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di bawah diagonal utamanya.

         
d.      Matriks Transpose
Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom. Misalkan A = [ ] berukuran m x n, maka transpose dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks n x m yang dalam hal ini jika AT = [ ], maka =  untuk i =1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, m.

e.       Matriks Setangkup (Symmetry)
A adalah matriks setangkup atau simetri jika AT = A, yaitu jika =  untuk setiap i dan j. dengan kata lain, pada matriks setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal matriks.
Maka matriks setangkup adalah matriks yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri, dengan kata lain A=AT.

f.       Matriks 0/1 (zero-one)
Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Matriks ini banyak digunakan untuk mempresentasikan relasi keterhubungan.
Maka matriks 0 (nol) adalah matriks yang setiap entri atau elemennya merupakan angka nol (0).
         
2.      Operasi Aritmetika Matriks

a. Penjumlahan dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ukuran keduanya sama. Misalkan  A=[ ] dan B = [ ] yang masing-masing berukuran m x n. jumlah A dan B, dilambangkan dengan A + B, menghasilkan matriks C =  [ ] yang berukuran m x n, yang dalam hal ini =  +  untuk setiap i dan j. begitupun dengan operasi pengurangan.

b. Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Misalkan A = [ ] adalah matriks m x n dan B = [ ] adalah matriks n x p. maka, perkalian A dan B, dilambangkan dengan AB, menghasilkan matriks C= [ ] yang berukuran m x p, yang dalam hal ini
             
Sifat-sifat operasi perkalian matriks:
1)      Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu .
2)      Hokum asosiatif berlaku pada operasi matriks:
3)      Hokum distributif berlaku pada operasi matriks:
a)      (hukum distribusi kiri)
b)       (hukum distribusi kanan)
4)      Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks, yaitu   
5)      Perpangkatan matriks didefinisikan sebagai berikut:
6)       adalah matriks ortogonal jika

c.  Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan  adalah sebuah skalar. Perkalian matriks  dengan skalar  adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan .

B.     RELASI
Notasi: A x B = {( a, b) | a  A dan b

Cara yang paling mudah menyatakan hubungan antara elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang melemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

Relasi biner R anrata A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Notasi : R  ( A x  B).
           

Jika ( a, b) Є R, kita gunaka notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a, b)  R, kita gunakan notasi a tidak di hubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau kodomain) dari R.
Contoh :
 Misalkan A = { Amir, Budi, Cecep  adalah nama mahasiswa, dan B = { IF221, IF251, IF342, IF3232 } adalah himpunan kode mata kuliah di jurusan Tekhnik Informatika. Perkalian karetesian antara A dan B menghasilkan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A| . |B| = 3 . 4 = 12 buah, yaitu :
A  B = { (Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir,  IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221),                 ( Budi, IF251), (Budi, 342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221), (Cecep,                                    IF251),(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

      Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada semester ganjil, yaitu :
R = { (Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
      Kita dapat melihat bahwa R  (A x B ),A adalah daerah asal R, A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. oleh karena (Amir, IF251) Є R, kita dapat menuliskan Amir R IF251, tetapi (Amir, IF342) R.

Definisi: Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A
Dengan kata lain bahwa relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari  A x A.

1. Representasi  Relasi

Selain dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, ada banyak cara lain untuk mempresentasikan atau menyajikan relasi. Dibawah ini disajikan 3 cara yang lazim dipakai untuk mempresentasikan relasi, yaitu dengan tabel ,matriks, dan graf berarah.

2. Relasi invers
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. invers dan relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
R-1 = { (b, a) | (a, b) R }
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4 }Q = {2, 4, 8, 9, 15 }. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan ( p, q) R jika p habis membagi q maka kita peroleh
R = { (2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R-1  adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) R-1 jika q adalah kelipatan dari pmaka kita peroleh R-1 = { (2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang mempresentasikan relasi R,
M=

Maka matriks yang mempresentasikan relasi R-1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,
N = MT =

3. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi. Dengan kata lain, jika R2 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka operasi R1  R2 , R1  R2 , R1 – R2 dan R1  R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh :
Misalkan A = { a, b, c } dan B = { a, b, c, d }. Relasi  R1 = { ( a, a), ( b, b), (c, c ) } dan relasi R2 = { (a ,a ), ( a, b), (a, c), (a, d) } adalah relasi dari A ke B. kita dapat mengkombinasikan :
R1 R2 = { (a, a) }
R1  R2 = { (a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d) }
R1 – R2 = { (b, b), (c, c) }
R2 – R1 = { (a, b), (a, c), (a, d) }
R1  R2 = { (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d) }

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1  R2 = MR1  R2 dan MR1  R2 = MR1  R2 yang dalam hal ini, operator “  “ berarti “ atau “ dan “  “ berarti “ dan “.

4. Komposisi Relasi
Cara lain mengkombinasikan relasi adalah dengan mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Definisi dari komposisi dua buah relasi didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S o R = { (a, c) | a Є C, dan untuk beberapa b Є B, (a,b) Є R dan (b,c) Є S }.
Contoh :
Misalkan R = { (1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8) } adalah relasi dari himpunan { 1,2,3 } ke himpunan { 2, 4, 6, 8 } dan S = { (2, u ), ( 4, t), (6, t), (8, u) } adalah relasi dari himpunan { 2, 4, 6, ,8 } ke himpunan { s, t, u }.
Maka komposisi relasi R dan S adalah S o R = { (1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

5.         Sifat – sifat Relasi
a.     Refleksif (reflexive)
Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.
Contoh:
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a, a)   R untuk setiap a  A.
b.    Setangnkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)
1)        Setangkup (symmetric)
Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b)  R, maka (b, a)  R, untuk semua a, b  A.
2)        Tolak setangkup (antisymmetric)
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a, b)  R dan (b, a)  R maka a = b, untuk semua a, b  A.
Contoh :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b,b tidak habis membagi a, kecuali a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4) R tetapi (4,2) R. Relasi “habis membagi” tolak setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4,4) R dan 4 = 4.
3)        Menghantar (transitive)
Relasi R pada himpunan A disebut Menghantar jika (a,b) R, dan (b,c) R, maka (a,c)  R untuk semua a,b,c  A.
Contoh:
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
                         R : x lebih besar dari y,     S : x+y=6,                   T : 3x+y=10
X adalah relasi menghantar karena jika x  y dan y  z maka x  z. S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S. Sebaliknya, T={(1, 7), (2, 4), (3, 1)}tidak menghantar.

FUNGSI
Konsep fungsi sangat penting di dalam Matematika Diskrit. Fungsi sering dipakai untuk mentransformasikan elemen di sebuah himpunan dengan elemen di himpunan lain.
Definisi: Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f  dariA ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
           
Yang artinya f memetakan A ke B
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Himpunan A disebut daerah asal (domain)dari f dan himpunan B disebut daerah hasil(codomain) dari f . Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f  disebut jelajah(range) dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi dapat di spesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantranya:
1.         Himpunan pasangan terurut.
Ingatlah bahwa fungsi adalah relasi, sedangkan relasi biasanyan dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut.
2.         Formula pengisian nilai (assignment)
Didalam kuliah aljabar atau kalkulus, fungsi di spesifikasikan dalam bentuk rumus pengisian nilai (assignment), misalnya x2, dan . Jika himpunan daerah asal maupun daerah hasil fungsi tidak dinyatakan secara spesifik, maka diasumsikan daerah asal fungsi adalah R dan daerah hasil juga R. dalam bimpunan pasangan terurut kita mendefinisikan fungsi sebagai
3.         Kata-kata
Fungsi dapat dikatakan secara eksplisit dalam rangkaian kata-kata. Misalnya, “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu stringbiner”.
4.         Kode program (source code)
Fungsi di spesifikasikan dalam bentuk kode program komputer. Misalnya dalam Bahasa Pascal, fungsi yang mengembalikan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat x, yaotu |x|, dituliskan sebagai berikut:
        Function abs (x :integer) : integer;
                  Begin
                  If x < 0 then
                              Abs : = -x
                  Else
                              Abs : = x;
                  End;
Daerah asal dari fungsi abs diatas secara jelas dinyatakan himpunan bilangan bilat (integer), dan darerah hasilnya juga bilangan bulat.
Contoh:
Relasi  dari ke adalah fungsi dari A ke B. disini . Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. jelajah dari fadalah , yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.
Bergantung pada bayangan, fungsi dibedakan menjadi fungsi satu-ke-satu (one-to-one), fungsi pada (onto), atau bukan salah satu dari keduanya.Kita tinjau definisi enis setiap fungsi tersebut berikut ini.
Definisi: jika f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one)atau injektif(injektive) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka bilamana . Jika f(a) = f(b) maka implikasinya adalah a = b.
Fungsi satu-ke- satu.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *